Question

橢圓

x2

a12

+

y2

b2

=1（a₁＞b＞0）與雙曲線

x2

a22

-

y2

b2

=1(a2＞0)的離心率分別為e₁，e₂，若以a₁，a₂、b為邊長可構成直角三角形（其中a₁為斜邊），則e₁•e₂的值為

1

．

Answer 1

分析：由以a₁，a₂、b為邊長可構成直角三角形（其中a₁為斜邊），利用勾股定理可得

a

2 1

=

a

2 2

+b2．再利用利用離心率計算公式即可得出．

解答：解：∵以a₁，a₂、b為邊長可構成直角三角形（其中a₁為斜邊），
∴

a

2 1

=

a

2 2

+b2．
∴e₁e₂=

1- b2 a 2 1

•

1+ b2 a 2 2

=

a 2 2 a 2 1 • a 2 2 +b2 a 2 2

=1．
故答案為1．

點評：熟練掌握勾股定理、離心率計算公式是解題的關鍵．