Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右頂點A（a，0），坐標原點為O，若橢圓上存在點P，使∠AP0=90゜．試求橢圓離心率的取值范圍．

Answer 1

分析：根據題意點P在以AO為直徑的圓上，求出該圓的方程為x²+y²-ax=0．圓的方程與橢圓的方程消去y得到關于x的一元二次方程，可得該方程的兩根分別為點P、A的橫坐標，得到P的橫坐標為

a b2

a2-b2

，最后根據P的橫坐標小于a且大于0，建立關于a、b、c的不等式，解之即可得到該橢圓離心率的取值范圍．

解答：解：∵∠AP0=90゜，∴點P在以AO為直徑的圓上，
∵O（0，0），A（a，0），
∴以AO為直徑的圓方程為（x-

a

2

）²+y²=

a2

4

，即x²+y²-ax=0，
由

x2 a2 + y2 b2 =1 x2+y2-ax=0

消去y，得（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0．
設P（m，n），
∵P、A是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1與x²+y²-ax=0兩個不同的公共點，
∴m+a=

-a3

b2-a2

，ma=

a2b2

a2-b2

，可得m=

a b2

a2-b2

．
∵由圖形得0＜m＜a，∴0＜

a b2

a2-b2

＜a，
即b²＜a²-b²，可得a²-c²＜c²，得a²＜2c²
∴a＜

2

c，解得橢圓離心率e=

c

a

＞

c

2 c

=

2

2

，
又∵e∈（0，1），
∴橢圓的離心率e的取值范圍為（

2

2

，1）．

點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的離心率取值范圍，著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、直線與圓錐曲線位置關系等知識，屬于中檔題．