Question

若f（x）=

log2(x2-1)，x＞1 x-2-1，x＜0

，則f（x）≤3的解集是

 

．

Answer 1

分析：當x大于1時，根據分段函數的解析式得到f（x）的表達式，代入f（x）≤3中，把3變為log₈²，由2大于1，根據對數函數為增函數，得到關于x的不等式，求出不等式的解集與x大于1求出交集即為原不等式的解集；當x小于0時，根據分段函數的解析式，得到f（x）的表達式，代入f（x）≤3中，移項后利用平方差公式分解因式，然后根據兩數相乘，異號得負化為兩個不等式組，根據x小于0和負指數的計算法則，去掉分母后即可得到x的取值范圍，綜上，求出兩種情況的x的范圍的并集即為原不等式的解集．

解答：解：當x＞1時，f（x）=

log

x2-1 2

≤3=log₂⁸，
由2＞1，得到對數函數為增函數，
得到x²-1≤8，即（x+3）（x-3）≤0，
解得：-3≤x≤3，又x＞1，
所以原不等式的解集為（1，3]；
當x＜0時，f（x）=x^-2-1≤3，即（x^-1+2）（x^-1-2）≤0，
化為

1 x +2≤0 1 x -2≥0

或

1 x +2≥0 1 x -2≤0

，又x＜0，
解得：x≤-

1

2

，
原不等式的解集為（-∞，-

1

2

]，
綜上，f（x）≤3的解集是（-∞，-

1

2

]∪（1，3]．
故答案為：（-∞，-

1

2

]∪（1，3]

點評：此題考查了其他不等式的解法，考查了分類討論的數學思想和轉化的思想，是一道基礎題．