Question

已知向量

a

=（x，1），

b

=（1，-sinx），函數f（x）=

a

•

b

．
（1）若x∈[0，π]，試求函數f（x）的值域；
（2）若θ為常數，且θ∈（0，π），設g（x）=

2f(θ)+f(x)

3

-f（

2θ+x

3

），x∈[0，π]，請討論g（x）的單調性，并判斷g（x）的符號．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積運算，求出函數，再利用導數法潘函數的單調性，從而可求函數f（x）的值域；
（2）求導函數，根據θ∈（0，π），x∈[0，π]，由g′（x）=0，得x=

2θ+x

3

，即x=θ．從而可確定g（x）的單調性，進一步可判斷g（x）的符號．

解答：解：（1）∵向量

a

=（x，1），

b

=（1，-sinx），
∴f（x）=

a

•

b

=x-sinx，
∴f′（x）=1-cosx，
∵x∈[0，π]．
∴f′（x）≥0．
∴f（x）在[0，π]上單調遞增．
于是f（0）≤f（x）≤f（π），即0≤f（x）≤π，
∴f（x）的值域為[0，π]．
（2）g（x）=

2(θ-sinθ)+x-sinx

3

-

2θ+x

3

+sin

2θ+x

3

=-

2

3

sinθ-

1

3

sinx+sin

2θ+x

3

，
∴g′（x）=-

1

3

cosx+

1

3

cos

2θ+x

3

．
∵x∈[0，π]，θ∈（0，π），
∴

2θ+x

3

∈（0，π）．
而y=cosx在[0，π]內單調遞減，
∴由g′（x）=0，得x=

2θ+x

3

，即x=θ．
因此，當0≤x＜θ時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，當θ＜x≤π時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增．
由g（x）的單調性，知g（θ）是g（x）在[0，π]上的最小值，
∴當x=θ時，g（x）=g（θ）=0；當x≠θ時，g（x）＞g（θ）=0．
綜上知，當x∈[0，θ）時，g（x）單調遞減，當x∈（θ，π]時，g（x）單調遞增；
當x=θ時，g（x）=0；
當x≠θ時，g（x）＞0．

點評：本題重點考查導數知識的運用，考查向量的數量積，考查利用導數判斷函數的單調性，正確分類是關鍵．