Question

【題目】已知： ；
；
，
利用上述結(jié)果，計(jì)算：13+23+33+…+n3= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵（n+1）4=n4+4n3+6n2+4n+1， ∴（n+1）4﹣n4=4n3+6n2+4n+1，
∴n4﹣（n﹣1）4=4（n﹣1）3+6（n﹣1）2+4（n﹣1）+1，
…
34﹣24=4×23+6×22+4×2+1
24﹣14=4×13+6×12+4×1+1
上述n個等式相加，得
（n+1）4﹣14=4（13+23+…+n3）+6（12+22+…+n2）+4（1+2+…+n）+n，
∴4（13+23+…+n3）=（n+1）4﹣1﹣6（12+22+…+n2）﹣4（1+2+…+n）﹣n
=（n+1）4﹣6× n（n+1）（2n+1）﹣4× ﹣（n+1）
=（n+1）[（n+1）3﹣n（2n+1）﹣2n﹣1]
=（n+1）（n3+n2）
∴13+23+…+n3= ，
所以答案是 ．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解歸納推理(根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì),退出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理,叫做歸納推理)．