Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足：a1=

1

4

，bn+1=

bn

1- a n 2

a_n+b_n=1．
（1）求證：數(shù)列{

1

bn-1

}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設(shè)s_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…a_na_n+1，若4aS_n＜b_n對于n∈N^*恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由a_n+b_n=1，得b_n=1-a_n，依題意

1

bn+1-1

-

1

bn-1

=

1

1 1+an -1

-

1

1-an-1

=-

1

an

-1+

1

an

=-1，由此能夠證明數(shù)列{

1

bn-1

}是等差數(shù)列．
（2）由

1

bn-1

=-4+(n-1)(-1)=-n-3，知bn=-

1

n+3

+1=

n+2

n+3

，由此能得到數(shù)列{a_n}的通項公式．
（3）由s_n=

1

4×5

+

1

5×6

+

1

(n+3)•(n+4)

=

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+

1

n+3

-

1

n+4

=

1

4

-

1

n+4

=

n

4(n+4)

，知4aS_n-b_n=

an

n+4

-

n+2

n+3

=

(a-1)n2+(3a-6)n-8

(n+3)(n+4)

，依題意可知（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立，由此借助二次函數(shù)的性質(zhì)能夠推導(dǎo)出a≤1，4aS_n≤b_n對于n∈N^*恒成立．

解答：解：（1）由a_n+b_n=1，得b_n=1-a_n，
依題意bn+1=

bn

1- a 2 n

=

1-an

(1-an)(1+an)

=

1

1+an

∴

1

bn+1-1

-

1

bn-1

=

1

1 1+an -1

-

1

1-an-1

=-

1

an

-1+

1

an

=-1∵a1=

1

4

，∴b1=

3

4

，

1

b1-1

=-4，∴數(shù)列{

1

bn-1

}是以-4為首項公差為-1的等差數(shù)列
（2）由（1）知

1

bn-1

=-4+(n-1)(-1)=-n-3，
則bn=-

1

n+3

+1=

n+2

n+3

，an=1-bn=1-

n+2

n+3

=

1

n+3

（3）S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=

1

4×5

+

1

5×6

+

1

(n+3)•(n+4)

=

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+

1

n+3

-

1

n+4

=

1

4

-

1

n+4

=

n

4(n+4)

∴4aS_n-b_n=

an

n+4

-

n+2

n+3

=

(a-1)n2+(3a-6)n-8

(n+3)(n+4)

依題意可知（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立，令f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8
當a=1時，f（n）=-3n-8＜0恒成立
當a＞1時，由二次函數(shù)性質(zhì)知f（n）＜0不可能成立
當a＜1時，此二次函數(shù)的對稱軸為x=-

3a-6

2(a-1)

=-

3

2

(1-

1

a-1

)＜0
則f（n）在n∈N^*上是單調(diào)遞減，∴要使f（n）＜0對n∈N^*恒成立
必須且只須f（1）＜0即4a-15＜0，∴a＜

15

4

，又a＜1∴a＜1
綜上a≤1，4aS_n≤b_n對于n∈N^*恒成立．

點評：本題考查等差數(shù)列的證明方法，數(shù)列通項公式的求解方法和以數(shù)列為載體求解實數(shù)a的取值范圍，解題時要注意數(shù)列性質(zhì)的靈活運用．