Question

（2012•蕪湖二模）如圖，四棱錐S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，側面SAB是等邊三角形，DA⊥面SAB，DC∥AB，AB=2AD=2DC，O，E分別為AB、SD中點．
（1）求證：SO∥面AEC，BC⊥面AEC
（2）求二面角O-SD-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）設DO，AC交于點F，連接EF，易判斷AOCD為正方形，進而AC與BC垂直平分，結合已知及三角形中位線定理可得EF∥OS，進而由線面平行的判定定理得到SO∥面AEC；根據已知可先證得SO⊥面ABCD，進而得到SO⊥BC，而由BC與OD平行與AC垂直，結合線面垂直的判定定理可得BC⊥面AEC
（2）分別以OS，OB，OC為x軸，Y軸，z軸點的空間直角坐標系，設AB=2，分別求出二面角O-SD-B的兩個半平面的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答：證明：（1）設DO，AC交于點F，連接EF，
∵直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC，
故四邊形AOCD為正方形，則F為DO中點
∵E為DS的中點
∴在△DOS中EF∥OS
又∵EF?面AEC，OS?面AEC
∴SO∥面AEC…（3分）
∵DA⊥面SAB，SO?面SAB
∴DA⊥SO，
又∵側面SAB是等邊三角形，O為AB的中點，
∴AB⊥SO，∵AB∩DA=A
∴SO⊥面ABCD
又∵BC?面ABCD
∴SO⊥BC，EF⊥BC
又BC∥DO
∴BC⊥AC，∵EF∩AC=F
∴BC⊥面AEC…（6分）
（2）分別以OS，OB，OC為x軸，Y軸，z軸點的空間直角坐標系，
設AB=2，顯然AC⊥面SOD，
∴面SOD的法向量

m

=

AC

=(0，1.1)
設面SBD 的法向量為

n

=(1，x，y)
由

n

⊥

SB

，

n

⊥

SD

求得：

n

=(1，

3

，2

3

)是面SBD的一個法向量，
∴cosθ=

m • n

| m |•| n |

=

3 3

2 •4

=

3

8

6

故所求二面角的余弦值為

3

8

6

…（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，二面角的平面角，（1）的關鍵是熟練掌握空間線面關系的判定定理及性質定理，能熟練的進行轉化，（2）的關鍵是構造空間坐標系，將二面角轉化為向量夾角．