Question

（本小題滿分13分）

已知數列滿足：，

（I） 求得值；

（II）     設求證：數列是等比數列，并求出其通項公式；

（III）    對任意的，在數列中是否存在連續的項構成等差數列？若存在，寫出這項，并證明這項構成等差數列；若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）因為 ，所以，，

,                      …………3分

（Ⅱ）由題意，對于任意的正整數，，

所以                                          …………4分

又 

所以                                           …………6分

    又                                  …………7分

     所以是首項為2，公比為2的等比數列，所以     …………8分

（III）存在. 事實上，對任意的，在數列中，

這連續的項就構成一個等差數列     ……10分

我們先來證明：

“對任意的，，有”

由（II）得，所以 .

     當為奇數時，

當為偶數時，

記

因此要證，只需證明，

其中

(這是因為若，則當時，則一定是奇數，

有

=；

     當時，則一定是偶數，有

               = )

如此遞推，要證， 只要證明，

其中，

如此遞推下去， 我們只需證明，

即，即，由（I）可得，

所以對，，有，

對任意的 ，

，，其中，

所以

又，，所以

所以這連續的項，

是首項為，公差為的等差數列 .       …………13分

說明：當（其中）時，

因為構成一個項數為的等差數列，所以從這個數列中任取連續的項，也是一個項數為，公差為的等差數列.

【解析】略