Question

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數，且對于任意的a、b∈R，滿足f（ab）=af（b）+bf（a），f（2）=2，an=

f(2n)

n

（n∈N^*），bn=

f(2n)

2n

（n∈N^*）．考查下列結論：①f（0）=f（1）；②f（x）為偶函數；③數列{a_n}為等比數列；④{b_n}為等差數列．其中正確的是（　　）

• A、①②③
• B、①③④
• C、③④
• D、①③

Answer 1

分析：因此題為單選題，可用排除法去做．排除時先通讀選項，找出不需驗證的結論，在逐一驗證其他結論，得出答案．

解答：因每一選項均有③，所以不需驗證③，令a=b=0，得到f（0）=0；a=b=1，得到f（1）=0，故①正確，排除C，f（ab）=af（b）+bf（a），f（2）=2，（n∈N^*），bn=

f(2n)

2n

，bn+1=

f(2n+1)

2n+1

=

f(2•2n)

2n+1

=

2f(2n)+2nf(2)

2n+1

=bn+1，
說明b_n為等差數列，故④正確，根據選項，排除A，D．
故選B

點評：此題考查函數中賦值法求函數值，以及函數與數列的綜合，需認真分析條件，做出解答