Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，△PAC和△PBC是邊長為

2

的等邊三角形，AB=2，O是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面POC；
（Ⅱ）求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證AB⊥平面POC，由題設(shè)及圖形易得OC⊥AB，PO⊥AB，再由線面垂直的判定定理得出結(jié)論即可．
（Ⅱ）欲求三棱錐P-ABC的體積，由（I）的證明知，可將棱錐的體積變?yōu)橐設(shè)A，OB為高，以三角形POC為底的兩個(gè)棱錐的體積和，由于AB長度已知，求出三角形POC的面積即可．

解答：解：（Ⅰ）證明∵AC=CB=PA=PB=

2

，
又O是AB的中點(diǎn)，AB=2
∴OC⊥AB，PO⊥AB，
又PO∩OC=0
故AB⊥平面POC（6分）
（Ⅱ）∵AC=CB=

2

，
又O是AB的中點(diǎn)，AB=2
∴OC⊥AB，OC=1，同理PO=1．
又PC=

2

，
∴PC²=OC²+PO²=2
∴∠POC=90°，即PO⊥OC
由圖形知VP-ABC=

1

3

S△POC•AB=

1

3

×

1

2

×1×1×2=

1

3

VP-ABC=VA-POC+VB-POC=

1

3

S△POC•AB=

1

3

×

1

2

×1×1×2=

1

3

（12分）

點(diǎn)評：本題考查用線面垂直的判定定理證明線面垂直，及求棱錐的體積，利用定理證明線面垂直是最常用的方法，本題中在求棱錐體積時(shí)用到了分割法，把一個(gè)棱錐分成了兩部分求體積，再求和，對于一些不規(guī)則的幾何體的體積常采用這種技巧．