Question

（2012•九江一模）函數f（x）=sinπx+cosπx+|sinπx-cosπx|對任意的x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，則|x₂-x₁|的最小值為（　　）

• A．

  3

  4

• B．1
• C．2
• D．4

Answer 1

分析：先將函數寫出分段函數，再確定|x₂-x₁|的最小值為相鄰最小值與最大值處橫坐標差的絕對值，由此可得結論．

解答：解：由題意，f（x）=

2sinπx，sinπx＞cosπx 2cosπx ，sinπx≤cosπx

對任意的x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，所以f（x₁）是最小值，f（x₂）是最大值
|x₂-x₁|的最小值為相鄰最小值與最大值處橫坐標差的絕對值
由于x=

1

2

時，函數取得最大值2，x=

5

4

時，sinπx=cosπx=-

2

2

，函數取得最小值
∴|x₂-x₁|的最小值為

5

4

-

1

2

=

3

4

故選A．

點評：本題考查絕對值函數，考查三角函數的性質，確定|x₂-x₁|的最小值為相鄰最小值與最大值處橫坐標差的絕對值是關鍵．