Question

已知函數y=4cos²x+4

3

sinxcosx-2，x∈R．
①求函數的周期；
②寫出函數的單調增區間；
③當x∈[-

π

3

，

π

4

]時，求函數的最大值．

Answer 1

分析：由已知中函數y=4cos²x+4

3

sinxcosx-2，根據二倍解公式，及輔助角公式，我們易將函數的解析式化為正弦型函數
①根據函數的解析式，求出ω，代入T=

2π

ω

，即可求出函數的周期；
②根據正弦函數的單調性，構造不等式-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，解不等式即可求出函數的單調增區間；
③當x∈[-

π

3

，

π

4

]時，分析出相位角的范圍，進而根據正弦型函數的性質得到函數的最大值．

解答：解：y=4cos²x+4

3

sinxcosx-2=2cos2x+2

3

sin2x=4sin(2x+

π

6

)
①函數的周期T=

2π

2

=π
②當-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ
⇒x∈[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]為函數的單調增區間 
③當x∈[-

π

3

，

π

4

]時，⇒2x+

π

6

∈[-

π

2

，

2π

3

]⇒2x+

π

6

=

π

2

時，函數的最大值為4．

點評：本題考查的知識點是三角函數的恒等變換及化簡求值，其中熟練掌握正弦型函數的參數與性質的關系是解答本題的關鍵．