Question

(12分) 若二次函數f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的圖象關于y軸對稱，

且f(-2)＞f(3)，設m＞-n＞0.

(1) 試證明函數f(x)在(0，+∞)上是減函數；

(2) 試比較f(m)和f(n)的大小，并說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）f(m)＜f(n).

【解析】（1）∵f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的圖象關于y軸對稱，

∴對任意x∈R，恒有f(-x)=f(x)，即a(-x)²+b(-x)+c=ax²+bx+c恒成立，

據此可求出b=0. f(x)=ax²+c.再根據f(-2)＞f(3),且f(-2)=f(2),

得f(2)＞f(3),因而a<0.且 f(x)在(0，+∞)上是減函數..

（2）∵m＞-n＞0,∴f(m)＜f(-n).,再根據f(-n)=f(n)，可得f(m)＜f(n)..

∵f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的圖象關于y軸對稱，

∴對任意x∈R，恒有f(-x)=f(x)，

即a(-x)²+b(-x)+c=ax²+bx+c恒成立.

∴2bx=0對任意x∈R恒成立.

∴b=0.

∴f(x)=ax²+c.

∵f(-2)＞f(3),且f(-2)=f(2),

∴f(2)＞f(3).

∴a<0.且 f(x)在(0，+∞)上是減函數.

又∵m＞-n＞0,

∴f(m)＜f(-n).

而f(-n)=f(n)，

∴f(m)＜f(n).