Question

已知中心在原點的雙曲線的一條漸近線方程是y=-

3

2

x，焦距為2

13

，求此雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析：由雙曲線的漸近線方程為y=-

3

2

x，可設雙曲線方程為

x2

4

-

y2

9

=λ(λ≠0)，當λ＞0時，

x2

4λ

-

y2

9λ

=1，焦點在x軸上，當λ＜0時，方程為

y2

-9λ

-

x2

-4λ

=1，利用已知焦距為2

13

，可求λ，進而可求雙曲線的方程．

解答：解：∵雙曲線的漸近線方程為y=-

3

2

x，由題意可設雙曲線方程為

x2

4

-

y2

9

=λ(λ≠0)
當λ＞0時，

x2

4λ

-

y2

9λ

=1，焦點在x軸上，
∴

4λ+9λ

=

13

，
∴λ=1，
∴雙曲線方程為

x2

4

-

y2

9

=1
當λ＜0時，方程為

y2

-9λ

-

x2

-4λ

=1，
∴

-4λ-9λ

=

13

，
∴λ=-1
∴方程為

y2

9

-

x2

4

=1
綜上所述，雙曲線方程為

x2

4

-

y2

9

=1或

y2

9

-

x2

4

=1．

點評：本題主要考查了利用雙曲線的性質求解雙曲線的方程，解題的關鍵是根據雙曲線的漸近線方程設雙曲線方程，屬于基礎題．