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若△ABC中,a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊,且1-2sinBsinC=cos2B+cos2C-cos2A.
(1)求A的大小;
(2)求sinB+sinC的最值.
分析:(1)把已知的等式右邊利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡,再利用正弦定理化為關(guān)于a,b及c的關(guān)系式,然后利用余弦定理表示出cosA,把得到的關(guān)系式代入即可求出cosA的值,由A的范圍,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù);
(2)根據(jù)(1)求出的A的度數(shù),利用三角形的內(nèi)角和定理,由B表示出C,把所求的式子利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后,提取
3
,再利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù),根據(jù)B的范圍求出B+30°的范圍,利用正弦函數(shù)的值域即可得到所求式子的最大值,無最小值.
解答:解:(1)∵1-2sinBsinC=cos2B+cos2C-cos2A,
∴1-2sinBsinC=1-2sin2B+1-2sin2C-1+2sin2A,
由正弦定理可得:-2bc=-2b2-2c2+2a2
整理得:b2+c2-a2=bc,(3分)
∴cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
2

∴A=60°;(6分)
(2)sinB+sinC=sinB+sin(120°-B)=sinB+
3
2
cosB+
1
2
sinB
=
3
2
cosB+
3
2
sinB=
3
1
2
cosB+
3
2
sinB)
=
3
sin(B+30°),(8分)
∵0°<B<120°,
∴30°<B+30°<150°,
1
2
<sin(B+30°)≤1,
3
2
3
sin(B+30°)≤
3

∴sinB+sinC無最小值,最大值為
3
.(12分)
點評:此題考查學(xué)生靈活運用正弦、余弦定理化簡求值,靈活運用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值,掌握正弦函數(shù)的值域,是一道中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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若△ABC中,a:b:c=2:3:4,那么cosC=(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
=(1+cosα,sinα),
b
=(1-cosβ,sinβ),
c
=(1,0)
,α∈(0,π),β∈(π,2π),向量
a
c
夾角為θ1,向量
b
c
夾角為θ2,且θ12=
π
6
,若△ABC中角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且角A=β-α.
求(Ⅰ)求角A 的大小; 
(Ⅱ)若△ABC的外接圓半徑為4
3
,試求b+c取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年湖南省十二校高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)文卷 題型:解答題

(本小題滿分12分)

若△ABC中,abc分別為內(nèi)角ABC的對邊,且1-2sinBsinC=cos2B+cos2C-cos2A.

 (1)求A的大小;

(2)求sinB+sinC的最值.


 

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