Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對邊，已知c=1，ab=2

3

，a＞b，sin（2c+

π

6

）=1，求a，b．

Answer 1

分析：由sin（2c+

π

6

）=1，利用正弦函數的圖象與性質求出C的度數，確定出cosC的值，由c及cosC的值，利用余弦定理列出關系式，再利用完全平方公式變形求出a+b的值，與ab的值聯立即可求出a與b的值．

解答：解：∵sin（2c+

π

6

）=1，C為△ABC的內角，
∴2c+

π

6

=

π

2

或2c+

π

6

=

11π

6

，即C=

π

6

或

5π

6

，
∵a＞b，且ab=2

3

，∴a＞

3

＞c，
∴C=

π

6

，
根據余弦定理得：c²=a²+b²-2abcos

π

6

，即1=a²+b²-

3

ab=a²+b²-6，
∴a²+b²=7，
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=7+4

3

，即a+b=2+

3

，
∵ab=2

3

，
∴a=2，b=

3

．

點評：此題考查了余弦定理，完全平方公式的運用，特殊角的三角函數值，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．