Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸有兩個不同的公共點，若f（c）=0，且0＜x＜c時，f（x）＞0．
（1）試比較

1

a

與c的大小；
（2）求實數b 的取值范圍；
（3）當c＞1，t＞0時，求證：

a

t+2

+

b

t+1

+

c

t

＞0．

Answer 1

分析：（1）根據韋達定理可以知道

1

a

是方程f（x）=0的另外的一個根，然后利用反證法可以比較其大小；
（2）先用a、c表示b=-1-ac，再根據第（1）問ac的取值范圍，從而確定b的范圍即可；
（3）化簡不等式，構造關于t的一元二次函數，根據單調性確定函數的最小值大于0，從而證明不等式成立．

解答：解：（1）∵f（x）的圖象與x軸有兩個不同的交點
∴f（x）=0有兩個不同的實數根x₁，x₂
∵f（c）=0∴c是方程f（x）=0的一個根，不妨設x₁=c
∵x1x2=

c

a

，∴x2=

1

a

∴

1

a

≠c
假設

1

a

＜c又 

1

a

＞0
由0＜x＜c時，f（x）＞0與f(

1

a

)=0矛盾
∴

1

a

＞c
（2）∵f（c）=0∴ac+b+1=0∴b=-1-ac
由（1）0＜ac＜1，∴-2＜-1-ac＜-1
∴-2＜b＜-1
（3）原不等式化簡為

(a+b+c)t2+(a+2b+3c)t+2c

t(t+1)(t+2)

 ＞0
∵t＞0
∴要證原不等式成立?即證g（t）=（a+b+c）t²+（a+2b+3c）t+2c＞0
∵c＞1＞0∴f（1）＞0即a+b+c＞0
又-2＜b＜-1
∴a+2b+3c=（a+b+c）+（b+2c）＞b+2c＞b+2＞0
∴二次函數g（t）的對稱軸 t=-

a+2b+3c

2(a+b+c)

＜0
由此可見g（t）在[0，+∞）上是增函數
∴t＞0時，g（t）＞g（0）＞0
∴原不等式成立．

點評：本題主要考查一元二次函數的根的分布與系數關系，及不等式的證明，有一定的難度，屬于難題．