Question

在數列{a_n}中，a₁=1，a₁=1，a_n+1=（1+

1

n

）a_n+

n+1

2n

（Ⅰ）設b_n=

an

n

，求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）設cn=(2n-an)2n，求證：

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cncn+1

＜

1

4

．

Answer 1

考點：數列的求和,數列的應用,數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）由a_n+1=（1+

1

n

）a_n+

n+1

2n

，變形為

an+1

n+1

=

an

n

+

1

2n

，即b_n+1-b_n=

1

2n

，利用累差迭加得b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁，再利用等比數列的前n項和公式即可得出．
（II）由（I）知an=n(2-

1

2n-1

)=2n-

n

2n-1

，可得S_n=

n(2+2n)

2

-T_n，其中T_n=

1

1

+

2

2

+

3

22

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，利用“錯位相減法”即可得出．
（III） 由（II）得cn=(2n-an)2n=2n．可得

1

cncn+1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，利用“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（I）由a_n+1=（1+

1

n

）a_n+

n+1

2n

，
可得

an+1

n+1

=

an

n

+

1

2n

，
∴b_n+1-b_n=

1

2n

，
利用累差迭加得b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=

1

2n-1

+

1

2n-2

+…+

1

2

+1
=

1- 1 2n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

，
當n=1時，也成立．
∴數列{b_n}的通項公式：b_n=2-

1

2n-1

．
（II）由（I）知an=n(2-

1

2n-1

)=2n-

n

2n-1

，
∴S_n=

n(2+2n)

2

-T_n，
其中T_n=

1

1

+

2

2

+

3

22

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，
∴2T_n=2+2+

3

2

+…+

n

2n-2

，
∴T_n=2+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

-

n

2n-1

=

2(1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n-1

=4-

n+2

2n-1

，
∴S_n=n（n+1）+

n+2

2n-1

-4．
（III）證明：由（II）得cn=(2n-an)2n=2n．
∴

1

cncn+1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cncn+1

=

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

4

(1-

1

n+1

)＜

1

4

．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式，考查了數列求和方法“累加求和”、“錯位相減法”、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．