Question

已知函數f（x）=3x²+bx+c，不等式f（x）＞0的解集為（-∞，-2）∪（0，+∞）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）已知函數g（x）=f（x）+mx-2在（2，+∞）上單調增，求實數m的取值范圍；
（3）若對于任意的x∈[-2，2]，f（x）+n≤3都成立，求實數n的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據題意判斷出：-2和0是方程3x²+bx+c=0的兩個實根，代入列出方程，求出b和c的值；
（2）由（1）求出g（x）的解析式，再求出對稱軸方程，根據條件和二次函數的單調性，列出不等式，求出m的范圍；
（3）由（1）和分離常數法得n≤-3x²-6x+3，再對二次式配方后，根據二次函數的性質，求出函數y=-3x²-6x+3在已知區間上的最小值即可．

解答：解：（1）∵f（x）＞0的解集為（-∞，-2）∪（0，+∞），
∴-2和0是方程3x²+bx+c=0的兩個實根，
則

c=0 12-2b+c=0

，解得b=6，c=0，
∴f（x）=3x²+6x，
（2）由（1）得，g（x）=f（x）+mx-2=3x²+（6+m）x-2，
則g（x）的對稱軸是x=-

6+m

6

，
∵g（x）在（2，+∞）上單調增，
∴-

6+m

6

≤2，解得m≥-18，
（3）由（1）得，f（x）+n≤3，即n≤-3x²-6x+3=-3（x+1）²+6，
∵x∈[-2，2]，即當x=2時，函數y=-3x²-6x+3取到最小值為-21，
∴n≤-21，實數n的最大值為-21．

點評：本題主要考查了二次函數的性質，待定系數法求解析式，二次方程與不等式的關系，以及恒成立問題，利用分離常數法轉化為求函數的最值問題，屬于中檔題．