Question

試問：當且僅當a,b滿足什么條件時，對橢圓C₁：=1(a>b>0)上任意一點P，均存在以P為頂點與圓C₀：x²+y²=1外切且與C₁內接的平行四邊形？證明你的結論。

Answer 1

答案：
解析：

解：如圖所示，圓外切平行四邊形一定是菱形，圓心即菱形中心，所求條件為 必要性的證明： 設橢圓C1上任意一點P(r1cosθ，r1sinθ)，所以有Q(r2cos(θ+)，r2sin(θ+))， 其中|OP|=r1,|OQ|=r2,代入橢圓方程中，得 又菱形PQRS與單位圓C0外切，所以Rt△POQ斜邊PQ上的高h=1。而 充分性的證明：設,P是橢圓Cl上任意一點，過P、O作C1的弦PR,再過O作與PR垂直的弦QS，則PQRS為橢圓C1的內接菱形。 設|OP|=r1，|OQ|=r2，則P的坐標為(r1cosθ，r1sinθ)，Q的坐標為(r2cos(θ+)，r2sin(θ+)), 代入橢圓方程，得 又在Rt△POQ中，斜邊PQ上的高h=1,則h= = ∴ 同理，點O到QR，RS，SP的距離都是1，所以菱形PQRS與單位圓C0外切。