Question

已知C₀：x²+y²=1和C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）．試問：當且僅當a，b滿足什么條件時，對C₁上任意一點P，均存在以P為頂點，與C₀外切，與C₁內接的平行四邊形？并證明你的結論．

Answer 1

分析：利用PQRS是與C₀外切，與C₁內接的平行四邊形，可得PQRS是菱形，于是OP⊥OQ，設出P，Q的坐標，在直角△POQ中，可得

1

r 2 1

+

1

r 2 2

=1，利用點在曲線上，即可求得結論．

解答：解：設PQRS是與C₀外切，與C₁內接的平行四邊形，則PQRS是菱形，于是OP⊥OQ

設P（r₁cosθ，r₁sinθ），Q（r₂cos（θ+90°），r₂sin（θ+90°）），
則在直角△POQ中，

r

2 1

+

r

2 2

=

r

2 1

r

2 2

，即

1

r 2 1

+

1

r 2 2

=1
∵

r 2 1 cos2θ

a2

+

r 2 1 sin2θ

b2

=1，即

1

r 2 1

=

cos2θ

a2

+

sin2θ

b2

同理，

1

r 2 2

=

sin2θ

a2

+

cos2θ

b2

，相加可得

1

a2

+

1

b2

=1
反之，若

1

a2

+

1

b2

=1成立，則取P（r₁cosθ，r₁sinθ），Q（r₂cos（θ+90°），r₂sin（θ+90°）），
可得即

1

r 2 1

=

cos2θ

a2

+

sin2θ

b2

，

1

r 2 2

=

sin2θ

a2

+

cos2θ

b2

，
∴

1

r 2 1

+

1

r 2 2

=

1

a2

+

1

b2

=1
此時PQ與C₂相切，即存在滿足條件的平行四邊形．

點評：本題考查圓與橢圓知識的綜合，考查學生的分析解決問題能力，考查計算能力，綜合性強．