Question

如圖ABCD—A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，側棱長為1，底面邊長為2，E是棱BC的中點.
(1)求三棱錐D₁—DBC的體積；
(2)證明BD₁∥平面C₁DE；
(3)求面C₁DE與面CDE所成二面角的正切值.

Answer 1

(1). (2) 同解析     
(3)面C₁DE與面CDE所成二面角的正切值為.

(1)解析：.
(2)證明：記D₁C與DC₁的交點為O，連結OE.
∵O是CD₁的中點，E是BC的中點，∴EO∥BD₁.
∵BD₁平面C₁DE，EO平面C₁DE，∴BD₁∥平面C₁DE.
(3)解析：如圖2，過C作CH⊥DE于H，連結C₁H.在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，C₁C⊥平面ABCD，∴C₁H⊥DE，∠C₁HC是面C₁DE與面CDE所成二面角的平面角.

∵DC=2，CC₁=1，CE=1，
∴
∴tan C₁HC=，
即面C₁DE與面CDE所成二面角的正切值為.