Question

設函數f（x）=1-e^-x．
（Ⅰ）證明：當x＞-1時，f（x）≥

x

x+1

；
（Ⅱ）設當x≥0時，f（x）≤

x

ax+1

，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將函數f（x）的解析式代入f（x）≥

x

x+1

整理成e^x≥1+x，組成新函數g（x）=e^x-x-1，然后根據其導函數判斷單調性進而可求出函數g（x）的最小值g（0），進而g（x）≥g（0）可得證．
（2）先確定函數f（x）的取值范圍，然后對a分a＜0和a≥0兩種情況進行討論．當a＜0時根據x的范圍可直接得到f（x）≤

x

ax+1

不成立；當a≥0時，令h（x）=axf（x）+f（x）-x，然后對函數h（x）進行求導，根據導函數判斷單調性并求出最值，求a的范圍．

解答：解：（1）當x＞-1時，f（x）≥

x

x+1

當且僅當e^x≥1+x
令g（x）=e^x-x-1，則g'（x）=e^x-1
當x≥0時g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函數
當x≤0時g'（x）≤0，g（x）在（-∞，0]是減函數
于是g（x）在x=0處達到最小值，因而當x∈R時，g（x）≥g（0）時，即e^x≥1+x
所以當x＞-1時，f（x）≥

x

x+1

（2）由題意x≥0，此時f（x）≥0
當a＜0時，若x＞-

1

a

，則

x

ax+1

＜0，f（x）≤

x

ax+1

不成立；
當a≥0時，令h（x）=axf（x）+f（x）-x，則
f（x）≤

x

ax+1

當且僅當h（x）≤0
因為f（x）=1-e^-x，所以h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）-1=af（x）-axf（x）+ax-f（x）
（i）當0≤a≤

1

2

時，由（1）知x≤（x+1）f（x）
h'（x）≤af（x）-axf（x）+a（x+1）f（x）-f（x）
=（2a-1）f（x）≤0，
h（x）在[0，+∞）是減函數，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤

x

ax+1

（ii）當a＞

1

2

時，由（i）知x≥f（x）
h'（x）=af（x）-axf（x）+ax-f（x）≥af（x）-axf（x）+af（x）-f（x）=（2a-1-ax）f（x）
當0＜x＜

2a-1

a

時，h'（x）＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞

x

ax+1

綜上，a的取值范圍是[0，

1

2

]

點評：本題主要考查導數的應用和利用導數證明不等式，考查考生綜合運用知識的能力及分類討論的思想，考查考生的計算能力及分析問題、解決問題的能力；導數常作為高考的壓軸題，對考生的能力要求非常高，它不僅要求考生牢固掌握基礎知識、基本技能，還要求考生具有較強的分析能力和計算能力．估計以后對導數的考查力度不會減弱．作為壓軸題，主要是涉及利用導數求最值解決恒成立問題，利用導數證明不等式等，常伴隨對參數的討論，這也是難點之所在．