Question

橢圓G：的兩個焦點為F₁、F₂，短軸兩端點B₁、B₂，已知F₁、F₂、B₁、B₂四點共圓，且點N(0，3)到橢圓上的點最遠距離為

(1)求此時橢圓G的方程；

(2)設斜率為k(k≠0)的直線m與橢圓G相交于不同的兩點E、F，Q為EF的中點，問E、F兩點能否關于過點P(0，)、Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)根據橢圓的幾何性質，線段F1F2與線段B1B2互相垂直平分，故橢圓中心即為該四點外接圓的圓心　　1分 　　故該橢圓中即橢圓方程可為　　3分 　　設H(x，y)為橢圓上一點，則 　　　　4分 　　若，則有最大值　　5分 　　由(舍去)(或b2＋3b＋9＜27，故無解)　　6分 　　若　　7分 　　由∴所求橢圓方程為　　8分 　　(1)設，則由 　　兩式相減得　③ 　　又直線PQ⊥直線m 　　∴直線PQ方程為 　　將點Q()代入上式得，　④　　11分 　　由③④得Q()　　12分 　　而Q點必在橢圓內部， 　　由此得，故當 　　時，E、F兩點關于點P、Q的直線對稱　　14分