Question

橢圓G：的兩個焦點為F₁、F₂，短軸兩端點B₁、B₂，已知F₁、F₂、B₁、B₂四點共圓 ，且點N（0，3）到橢圓上的點的最遠距離為

（1）求此時橢圓G的方程；

（2）設斜率為k（k≠0）的直線m與橢圓G相交于不同的兩點E、F，Q為EF的中點，問E、F兩點能否關于過點的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由。

Answer 1

解:（1）根據橢圓的幾何性質，線段F₁F₂與線段B₁B₂互相垂直平分，故橢圓中心即為該四點外接圓的圓心，

故該橢圓中a=b=c,即橢圓方程可為x²+2y²=2b²

設H（x，y）為橢圓上一點，則

若0

由（舍去）

若b≥3，當y=－3時，|HN|²有最大值2b²+18

由2b²+18=50得b²=16   ∴所求橢圓方程為

（ii）設E（x₁，y₁），F(x₂，y₂），Q（x₀，y₀），則由

             ③

又直線PQ⊥直線m    ∴直線PQ方程為

將點Q（x₀，y₀）代入上式得，    ④

由③④得Q

而Q點必在橢圓內部        由此得

故當時E、F兩點關于點P、Q的直線對稱.