Question

已知定點F₁（-2，0），F₂（2，0），N是圓O：x²+y²=1上任意一點，點F₁關于點N的對稱點為M，線段F₁M的中垂線與直線F₂M相交于點P，則點P的軌跡是（ ）
A．橢圓
B．雙曲線
C．拋物線
D．圓

Answer 1

【答案】分析：由N是圓O：x²+y²=1上任意一點，可得ON=1，且N為MF₁的中點可求MF₂，結合已知由垂直平分線的性質可得PM=PF₁，從而可得|PF₂-PF₁|=|PF₂-PM|=MF₂=2為定值，由雙曲線的定義可得點P得軌跡是以F₁，F₂為焦點的雙曲線
解答：解：連接ON，由題意可得ON=1，且N為MF₁的中點∴MF₂=2
∵點F₁關于點N的對稱點為M，線段F₁M的中垂線與直線F₂M相交于點P
由垂直平分線的性質可得PM=PF₁
∴|PF₂-PF₁|=|PF₂-PM|=MF₂=2＜F₁F₂
由雙曲線的定義可得點P得軌跡是以F₁，F₂為焦點的雙曲線
故選：B
點評：本題以圓為載體，考查了利用雙曲線的定義判斷圓錐曲線的類型的問題，解決本題的關鍵是由N為圓上一點可得ON=1，結合N為MF₁的中點，由三角形中位線的性質可得MF₂=2，還要靈活應用垂直平分線的性質得到解決本題的第二個關鍵點|PF₂-PF₁|=|PF₂-PM|=MF₂=2＜F₁F₂，從而根據圓錐曲線的定義可求解，體現了轉化思想的應用．