Question

（2012•大連二模）已知橢圓x²+3y²=4左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B、C在橢圓上，且AB⊥AC．
（I）求證：BC恒過軸上一定點(diǎn)；
（II）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）由于BC斜率不為0，可設(shè)BC方程為my=x-n，與橢圓聯(lián)立得：（m²+3）y²+2mny+n²-4=0，設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理結(jié)合AB⊥AC，可得n²+3n+2=0，從而可求得n=-1；
（II）將△ABC面積的面積轉(zhuǎn)化為△ABM與△ACM的面積之和，從而有S=

1

2

|y₁-y₂|=

4m2+9

m2+3

，進(jìn)一步可轉(zhuǎn)化為S=

4 m2+3 - 3 (m2+3)2

，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得其最大值．

解答：解：（Ⅰ）顯然BC斜率不為0，所以可設(shè)BC方程為my=x-n，
與橢圓聯(lián)立得：（m²+3）y²+2mny+n²-4=0，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
所以y₁+y₂=-

2mn

m2+3

，y₁y₂=

n2-4

m2+3

．①…（2分）
因?yàn)锳B⊥AC，
所以（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）=（m²+1）y₁y₂+（mn+2m）（y₁+y₂）+n²+4n+4=0，②…（4分）
①帶入②化簡(jiǎn)可得n²+3n+2=0，即n=-1或-2（舍）．
所以BC恒過定點(diǎn)M（-1，0）…（6分）
（Ⅱ）∵A（-2，0），BC恒過定點(diǎn)M（-1，0），
∴△ABC面積S=

1

2

|y₁-y₂|×|AM|
=

1

2

|y₁-y₂|×1
=

4m2+9

m2+3

=

4 m2+3 - 3 (m2+3)2

，…（9分）
設(shè)t=

1

m2+3

∈（0，

1

3

]，所以S=

4t-3t2

，當(dāng)t=

1

3

時(shí)，S最大．
即m=0時(shí)S最大為1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，突出考查直線恒過定點(diǎn)問題，考查通過轉(zhuǎn)化思想求三角形面積，考查綜合運(yùn)算能力，屬于難題．