Question

已知雙曲線經過點，其漸近線方程為y=±2x．
（1）求雙曲線的方程；
（2）設F₁，F₂是雙曲線的兩個焦點，證明：AF₁⊥AF₂．

Answer 1

（1）解：依題意…（3分）
解得 …（5分）
所以雙曲線的方程為．…（6分）
（2）由（1）得，，，
從而以F₁F₂為直徑的圓的方程是x²+y²=5．…（9分）
因為點的坐標滿足方程x²+y²=5，
故點A在以F₁F₂為直徑的圓上，所以AF₁⊥AF₂．…（12分）
分析：（1）根據題意，雙曲線C的一條漸近線方程為 y=±2x，將點C坐標代入方程，列出關于a，b的方程，解出a，b，進而可得答案．
（2）由（1）得，，，從而以F₁F₂為直徑的圓的方程，再根據點的坐標滿足方程x²+y²=5，得出點A在以F₁F₂為直徑的圓上，最終得出AF₁⊥AF₂．
點評：本題考查雙曲線的方程、雙曲線的簡單性質，涉及雙曲線的方程與其漸近線的方程之間的關系，要求學生熟練掌握，注意題意要求是標準方程，答案必須寫成標準方程的形式．