Question

橢圓的右焦點F所對應的準線l與對稱軸的交點為A，B是線段FA的中點，若以橢圓上的一點M為圓心，線段OF（O為坐標系原點）為半徑的圓恰好經過F，B兩點，則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

分析：根據題意F（c，0），A（

a2

c

，0），由中點坐標公式得B（

c2+a2

2c

，0）又以M為圓心，線段OF=c為半徑的圓恰好經過F，B兩點，得到M點在x軸上的射影是F，B的中點，再求得到右準線的距離由橢圓的第二定義可解得離心率．

解答：解：根據題意：F（c，0），A（

a2

c

，0）
∴B（

c2+a2

2c

，0）
∵以M為圓心，線段OF=c為半徑的圓恰好經過F，B兩點，
∴M點在x軸上的身影是F，B的中點
∴其橫坐標是：

3c2+a2

2c

∴M點到右焦點的距離為：c，到右準線的距離為：|

a2-3c2

2c

|
又M為橢圓上的點
∴e=

c

| a2-3c2 2c |

=

-2+ 13

3

，
故答案為：

-2+ 13

3

．

點評：本題主要考查橢圓的幾何性質，滲透圓后考查等腰三角形，中點坐標公式，得到相關量，來應用橢圓的第二定義求解離心率．