Question

已知矩陣A=

1 -1 a 1

，其中a∈R，若點P（1，1）在矩陣A的變換下得到點P′（0，-3），
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求矩陣A的特征值及特征向量．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點P在矩陣A的變化下得到的點P′（0，-3），寫出題目的關(guān)系式，列出關(guān)于a的等式，解方程即可．
（2）寫出矩陣的特征多項式，令多項式等于0，得到矩陣的特征值，對于兩個特征值分別解二元一次方程，得到矩陣A的屬于特征值-1的一個特征向量和矩陣A的屬于特征值3的一個特征向量．

解答：解：（1）由

1 -1 a 1

 

1 1

=

0 -3

，
得a+1=-3
∴a=-4
（2）由（1）知A=

1 -1 -4 1

，
則矩陣A的特征多項式為f(x)=

.

λ-1 1 4 λ-1

.

=(λ-1)2-4=λ2-2λ-3
令f（λ）=0，得矩陣A的特征值為-1或3
當(dāng)λ=-1時二元一次方程

(λ-1)x+y=0 4x+(λ-1)y=0

?y=2x
∴矩陣A的屬于特征值-1的一個特征向量為

1 2

當(dāng)λ=3時，二元一次方程

(λ-1)x+y=0 4x+(λ-1)y=0

?2x+y=0
∴矩陣A的屬于特征值3的一個特征向量為

1 -2

．

點評：本題考查二階矩陣，考查二階矩陣的特征值的求法，考查二階矩陣的特征向量的求法，因為是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，考查的比較簡單，是一個中檔題．