Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，滿足f（1）=0
（1）若c=1，解不等式f（x）＞0
（2）若a＞b＞c，設方程f（x）=0的最小根為x₀，確定a，c的符號并求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：由f（1）=0得到a，b，c的關系．
（1）由c=1，把b用a表示，代入f（x）＞0得到關于x的一元二次不等式，然后對參數a討論求解不等式的解集；
（2）由a+b+c=0，a＞b＞c確定a，c的符號，把b=-a-c代入方程f（x）=0后求得x0=

c

a

，然后根據a，c的范圍得到x₀的范圍．

解答：解：∵f（1）=0，∴a+b+c=0，
（1）∵c=1，∴b=-a-1，
由f（x）＞0，得ax²-（a+1）x+1＞0，
即（ax-1）（x-1）＞0，
∵f（x）=ax²+bx+c為二次函數，
∴a≠0．
當0＜a＜1時，不等式解為(-∞，1)∪(

1

a

，+∞)；
當a=1時，不等式解為（-∞，1）∪（1，+∞）；
當a＞1時，不等式解為(-∞，

1

a

)∪(1，+∞)；
當a＜0時，不等式解為(

1

a

，1)．
（2）∵a+b+c=0，a＞b＞c，
∴a+b+c＞c+c+c，
∴c＜0，
∴a+b+c＜a+a+a，
∴a＞0，
故a＞0，c＜0，
∵f（x）=0，
∴ax²+bx+c=0，
∵a+b+c=0，
∴ax²-（a+c）x+c=0，
∴（x-1）（ax-c）=0，
∵a＞0，c＜0，∴x0=

c

a

，
∵a+b+c=0，a＞b＞c，
∴a＞-a-c＞c，
∴

2a＞-c a＜-2c

，
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

，
∴x0∈(-2，-

1

2

)．

點評：本題考查了含有參數的一元二次不等式的解法，考查了分類討論的數學思想方法，考查了函數的零點與方程的根的關系，是中檔題．