Question

【題目】已知函數（為常數），其圖像是曲線.

（1）設函數的導函數為，若存在三個實數，使得與同時成立，求實數的取值范圍；

（2）已知點為曲線上的動點，在點處作曲線的切線與曲線交于另一點，在點處作曲線的切線，設切線的斜率分別為，問：是否存在常數，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由于存在唯一的實數，使得與同時成立，則，存在唯一的實數根，即存在唯一的實數根，就把問題轉化為求函數最值問題；（2）假設存在常數，依據曲線在點處的切線與曲線交于另一點，曲線在點處的切線，得到關于的方程，有解則存在，無解則不存在.

試題解析：（1），由題意知，消去，得有三解.令，則，分析單調性，可知，即

（2）設，則點處切線方程為，

與曲線： 聯立方程組，得，即，所以點的橫坐標．由題意知，，，若存在常數，使得，則，即常數使得，所以，解得．故當時，存在常數，使得；當時，不存在常數使得．