Question

已知三棱錐A-BCD，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD=1，AB⊥AD，DB=DC，DB⊥DC．
（1）求證：AB⊥平面ADC；
（2）求三棱錐A-BCD的體積．

Answer 1

分析：（1）根據線面垂直的判定定理，證明AB⊥CD即可．
（2）根據三棱錐的體積公式求出底面積和高即可求體積．

解答：解：（1）∵平面ABD⊥平面BCD，DB⊥DC．
∴CD⊥平面ABD，
∵AB?平面ABD，
∴CD⊥AB，
∵AB⊥AD，且AD∩AB=B，
∴AB⊥平面ADC．
（2）取BD的中點O，連結AO，
∵AB=AD=1，AB⊥AD，
∴三角形ABD為等腰直角三角形，
∴A0⊥BD，且AO=

2

2

．BD=

2

．
∵平面ABD⊥平面BCD，A0⊥BD，
∴A0⊥平面BCD，即AO是三棱錐A-BCD的高，
∵DB=DC，DB⊥DC．
∴CD=BD=

2

，
即三角形BCD的面積為

1

2

×

2

×

2

=1，
∴三棱錐A-BCD的體積為

1

3

×1×

2

2

=

2

6

．

點評：本題主要考查線面垂直的判定以及空間三棱錐的體積的計算，要求熟練掌握相應的判定定理和體積公式．