Question

函數f（x）的定義域為R，且f(x)=

2-x-1(x≤0) f(x-1)(x＞0)

，若方程f（x）=x+a有兩個不同實根，則a的取值范圍是

a＜1

．

Answer 1

分析：由已知中函數的解析式，我們易分析出函數的圖象在Y軸右側呈周期性變化，結合函數在x≤0時的解析式，我們可以畫出函數的像，根據圖象易分析出滿足條件的a的取值范圍．

解答：解：①當x≤0時，f（x）=2^-x-1，
②當0＜x≤1時，-1＜x-1≤0，f（x）=f（x-1）=2^-（x-1）-1．
當1＜x≤2時，-1＜x-2≤0，f（x）=f（x-1）=f（x-2）=2^-（x-2）-1．
故x＞0時，f（x）是周期函數，如圖，
欲使方程f（x）=x+a有兩解，
即函數f（x）的圖象與直線y=x+a有兩個不同交點，
所以a＜1．

故答案為：a＜1．

點評：本題考查的知識點是函數的圖象與圖象變化，其中根據函數的解析式，分析函數的性質，并畫出函數的圖象是解答本題的關鍵．