Question

已知函數f（x）=2x²+mx-1，集合A={x|log₂（x+2）≥log₂（x²+x+1）}，B={x|32x⁸-1≤1}．
（1）設f（x）≤0的解集為C，若C⊆（A∪B），求m的取值范圍；
（2）當m∈A，x∈B時，求證：|f（x）|≤

9

8

．

Answer 1

分析：（1）由題意先化簡集合A，B，再根據C⊆（A∪B），得到不等式2x²+mx-1≤0的解集是[-1，1]的子集．利用二次方程根的方布得出關于m的不等關系，從而求出m的取值范圍；
（2）利用絕對值不等式的性質得出|f（x）|=|2x²-1+mx|≤|2x²-1|+|mx|≤-（2x²-1）+|x|再結合二次函數的性質即可得到證明．

解答：解：由題意log₂（x+2）≥log₂（x²+x+1），
得x+2≥x²+x+1＞0，
解得-1≤x≤1；
由32x⁸-1≤1得x²≤

1

2

解得-

2

2

≤x≤

2

2

．
∴A=[-1，1]，B=[-

2

2

，

2

2

]，
∴A∪B=[-1，1]．
（1）∵C={x|2x²+mx-1≤0}且C⊆（A∪B），
∴不等式2x²+mx-1≤0的解集是[-1，1]的子集．
∵△=m²+8＞0，
∴只要

f(-1)≥0 f(1)≥0 -1≤ m 4 ≤1

即可，解得-1≤m≤1．
∴m的取值范圍為[-1，1]．
（2）∵m∈A，x∈B，∴|m|≤1，x²≤

1

2

．
∴|f（x）|=|2x²-1+mx|≤|2x²-1|+|mx|
≤-（2x²-1）+|x|
=-2（|x|-

1

4

）²+

9

8

≤

9

8

．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、二次函數的性質、不等式的解法、交、并、補集的混合運算等基礎知識，考查運算求解能力，考查轉化思想．屬于基礎題．