Question

【題目】如圖所示，四棱錐S﹣ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，BA⊥AC，SA⊥AD，SC⊥CD．

（Ⅰ）求證：AC⊥SB；

（Ⅱ）若AB＝AC＝SA＝3，E為線段BC的中點，F為線段SB上靠近B的三等分點，求直線SC與平面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由線面垂直的判定定理證明AC⊥平面SAB，即可證得AC⊥SB.

（Ⅱ）以AB、AC、AS為x軸y軸z軸建立坐標系，用向量法求解即可.

（Ⅰ）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BA∥CD，

又BA⊥AC，∴CD⊥AC，

又SC⊥CD，AC∩SC＝C，∴CD⊥平面SAC，

又SA平面SAC，∴CD⊥SA，又SA⊥AD，CD∩AD＝D，

∴SA⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴SA⊥AC，

又BA⊥AC，SA∩BA＝A，∴AC⊥平面SAB，

又SB平面SAB，∴AC⊥SB．

（Ⅱ）以AB、AC、AS為x軸y軸z軸建立如圖所示坐標系，

則A（0，0，0），S（0，0，3），C（0，3，0），E（，，0），F（2，0，1），

∴＝（，，0），＝（2，0，1），＝（0，﹣3，3），

設＝（x，y，z）為平面AEF的法向量，

，∴，∴，

令x＝﹣1，得一個法向量＝（﹣1，1，2），

cos＜，＞＝＝＝

即直線SC與平面AEF所成角的正弦值為．