Question

已知函數f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx，a＞1．
（1）若a＞2，討論函數f（x）的單調性；
（2）已知a=1，g（x）=2f（x）+x³，若數列{a_n}的前n項和為S_n=g（n），證明：

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

1

3

（n≥2，n∈N₊）．

Answer 1

分析：（1）利用導數研究函數的單調區間，注意極值點大小的比較；
（2）把a=1代入f（x）再代入g（x），利用公式a_n=s_n-s_n-1，求出a_n的通項的公式，再利用放縮法進行證明；

解答：解：（1）函數f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx，a＞1．
根據對數函數的性質，可得x＞0，
∴f′（x）=x-a+

a-1

x

=

(x-1)[x-(a-1)]

x

，
∵a＞2，∴a-1＞1，
則f（x）在（1，a-1）上f′（x）＜0，f（x）為減函數；
f（x）在（0，1），（a-1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）為增函數；
（2）已知a=1，可得f（x）=

1

2

x²-x，∵g（x）=2f（x）+x³=x³+x²-2x，
∵數列{a_n}的前n項和為S_n=g（n），
∴S_n=g（n）=n³+n²-2n，∵a_n=s_n-s_n-1，（n≥2）
∴a_n=n³+n²-2n-[（n-1）³+（n-1）²-2（n-1）]=3n²-n-2，
∴a_n=

3n2-n-2(n＞2) 0                  (n=1)

，
∴a_n=3n²-n-2，

1

an

=

1

(3n+2)(n-1)

＜

1

3n(n-1)

=

1

3

（

1

n-1

-

1

n

），
∴

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

1

3

[1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

]=

1

3

（1-

1

n

）＜

1

3

點評：此題主要考查函數的單調性與其單調性的證明，導數是研究函數的最好的工具，第二問難度有些大，主要是求出數列的通項公式，是一道基礎題；