Question

【題目】以原點為圓心，半徑為的圓 與直線相切.

（1）直線過點且截圓所得弦長為求直線 的方程；

（2）設圓與軸的正半軸的交點為，過點作兩條斜率分別為 的直線交圓于兩點，且 ，證明：直線恒過一個定點，并求出該定點坐標.

Answer 1

【答案】（1）或 ；（2）.

【解析】

分析：（1）先由直線和圓相切得到圓的方程，再由垂徑定理列式，分直線斜率存在與不存在兩種情況得到結果；（3）聯立直線和圓，由韋達定理得到交點的坐標，由這兩個點寫出直線方程，進而得到直線過定點.

詳解：

(1)∵圓與直線 相切，

∴圓心到直線的距離為，

∴圓的方程為：

若直線的斜率不存在，直線為 ，

此時直線截圓所得弦長為 ，符合題意；

若直線的斜率存在，設直線為 ，

由題意知，圓心到直線的距離為 ，解得：，

此時直線為，

則所求的直線為或

（2）由題意知， ，設直線，

與圓方程聯立得： ，

消去得： ，

∴∴，

用換掉得到B點坐標

∴，

∴直線AB的方程為

整理得：

則直線AB恒過定點為.