Question

已知定義在R上的函數f（x）=asinωx+bcosωx+m（ω＞0）的周期為π，且對?x∈R，都有f(x)≤f(

π

12

)=4+m．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數f（x）在區間[0，π]存在兩個不同的零點x₁、x₂，求參數m的范圍，并求這兩個零點之和x₁+x₂．

Answer 1

分析：（1）因為函數的周期為π，得ω=2，設f（x）=Asin（2x+φ）+m，根據函數的最大值為4+m得A=4，最后根據f(

π

12

)=4+m，建立關于φ的方程并解之，整理即得f（x）的解析式；
（2）換元法：令t=2x+

π

3

，得方程sint=-

m

4

在區間[

π

3

，

7π

3

]上有兩個不等的實數根．由此可得m∈（-4，-2

3

）∪（-2

3

，4），再結合正弦函數的軸對稱的性質，t₁+t₂=π或t₁+t₂=3π，化簡整理即得兩個零點之和x₁+x₂的值．

解答：解：（1）∵函數的周期T=π，∴

2π

ω

=π，得ω=2
因此，設函數的解析式f（x）=Asin（2x+φ）+m
∵函數的最大值為4+m，∴A=4
由題意知，x=

π

12

時函數有最大值
∴2×

π

12

+φ=

π

2

+2kπ，得φ=

π

3

+2kπ，（k∈Z）
取k=0，得f（x）的解析式為：f（x）=4sin（2x+

π

3

）+m
（2）∵x∈[0，π]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

3

]
令t=2x+

π

3

，因為函數f（x）在區間[0，π]存在兩個不同的零點x₁、x₂，
∴可得

3

2

＜-

m

4

＜1，或-1＜-

m

4

＜

3

2

，解之得m∈（-4，-2

3

）∪（-2

3

，4）
當m∈（-4，-2

3

）時，t₁+t₂=π，即（2x₁+

π

3

）+（2x₂+

π

3

）=π，解之得x₁+x₂=

π

6

；
當m∈（-2

3

，4）時，t₁+t₂=3π，即（2x₁+

π

3

）+（2x₂+

π

3

）=3π，解之得x₁+x₂=

7π

6

．
綜上所述，m的范圍是∈（-4，-2

3

）∪（-2

3

，4），兩個零點之和x₁+x₂為

π

6

或

7π

6

．

點評：本題給出函數y=Asin（ωx+φ）的部分性質，要我們確定其解析式并求函數的零點問題，著重考查了三角恒等變換、三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．