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  已知A、B、C、P為平面內四點,求證:A、B、C三點在一條直線上的充要條件是存在一對實數m、n,使=m+n,且m+n=1.


解析:

A、B、C 三點共線的一個充要條件是存在 實數λ,使得.很顯然,題設條件中向量表達式并未涉及,對此,我們不妨利用=+ 來轉化,以便進一步分析求證.

證明  充分性,由=m+n, m+n=1,  得

   =m+n(

   =(m+n)+n=+n

    ∴=n

∴A、B、C三點共線.

必要性:由A、B、C 三點共線知,存在常數λ,使得,   

即   +=λ(+).

=(λ-1)+λ=(1-λ)+λ,

m=1-λ,n=λ,m+n=1,

 =m+n

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知A、B兩點的坐標分別為A(-1,0)、B(1,0),動點M滿足MA+MB=2
2

(1)求動點M的軌跡方程;
(2)若點C在(1)中的軌跡上,且滿足△ABC為直角三角形,求點C的坐標;
(3)設經過B點的直線l與(1)中的軌跡交于P、Q兩點,問是否存在這樣的直線l使得△APQ為正三角形,若存在求出直線l的方程,若不存在說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知A,B,C,P為平面內四點,求證:A、B、C三點在一條直線上的充要條件是存在一對實數m,n,使
PC
=m
PA
+n
PB
,且m+n=1.

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科目:高中數學 來源:天津市新人教A版數學2012屆高三單元測試4:充分必要條件 新人教A版 題型:013

已知abcp為空間的任意向量,O、A、B、C為空間的任意點,有下列命題

ab的充要條件是存在實數λ,使aλb

②向量p與向量ab共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(xy),使pxayb

③若向量{abc}是空間的一個基底,則{ababc}也可構成空間的另一個基底

④若不構成空間的一個基底,則O、A、B、C一定共面

其中真命題的個數是

[  ]

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知abcp為空間的任意向量,O、A、B、C為空間的任意點,有下列命題

ab的充要條件是存在實數λ,使a=λb

②向量p與向量ab共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(xy),使pxayb

③若向量{abc}是空間的一個基底,則{ababc}也可構成空間的另一個基底

④若OA、OB、OC不構成空間的一個基底,則O、A、B、C一定共面

其中真命題的個數是(   )

A.1個         B.2個         C.3個         D.4個

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同步練習冊答案
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