Question

已知函數f（x）＝－x³＋ax²＋b（a、b∈R）。

（1）若a＝1，函數f（x）的圖象能否總在直線y＝b的下方？請說明理由；

（2）若函數f（x）在［0，2］上是增函數，x＝2是方程f（x）＝0的一個根，

求證：f（1）≤－2；

（3）若函數f（x）圖象上任意不同的兩點間連線斜率都小于1，求實數a的取值范圍。

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）解：不能。取x＝－1，則f（－1）＝1＋1＋b＞b，即存在點（－1，2＋b）在函數圖象上，且在直線y＝b的上方。 （2）證明：由x＝2是方程f（x）＝0的一個根，得f（2）＝－8＋4a＋b＝0，即b＝8－4a。 又f’（x）＝－3x2＋2ax，令f′（x）＝0，得－3x＋2ax＝0，解得x1＝0，x2＝，又函數f（x）在［0，2］上是增函數。∴ x2＝≥2，即a≥3。 ∴ f（1）＝－1＋a＋b＝－1＋a＋8－4a＝7－3a≤－2。 （3）解：設任意不同的兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）且x1≠x2，則＜1。 ∴ ＜1。∴ ＜1。 ∴ a（x2＋x1）－（x22＋x12＋x1x2）＜1。∴ －x12＋（a－x22＋ax2－1＜0。 ∵ x∈R，    ∴ △＝（a－x2）2＋4（－x22＋ax2－1）＜0。 ∴ －3x22＋2ax2＋a2－4＜0。    ∴ －3（x2－）2＋＋a2－4＜0。 ∴ －4＜0。∴ a2＜3。    ∴ －＜a＜。