Question

某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機抽取40名學生的筆試成績，按成績共分成五組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100]，得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時規定成績在85分以上（含85分）的學生為“優秀”，成績小于85分的學生為“良好”，且只有成績為“優秀”的學生才能獲得面試資格．
（1）求出第4組的頻率，并補全頻率分布直方圖；
（2）如果用分層抽樣的方法從“優秀”和“良好”的學生中選出5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“優秀”的概率是多少？
（3）若該校決定在第4，5 組中隨機抽取2名學生接受考官A的面試，第5組中有ξ名學生被考官A面試，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）先求出其它組的頻率，由此能求出第四組的頻率，并能作出頻率分布圖．
（2）依題意優秀與良好的人數比為3：2，所以采用分層抽樣的方法抽取的5人中有優秀3人，良好2人，由此能求出從這5人中選2人至少有1人是優秀的概率．
（3）由頻率分布直方圖可知，第四組的人數為8人，第五組的人數為4人，ξ的所有可能取值為0，1，2，分別求出其概率，由此能求出ξ的分布列和數學期望．

解答：解：（1）其它組的頻率為
（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.8，
所以第四組的頻率為0.2，
頻率分布圖如圖：…（3分）
（2）依題意優秀與良好的人數比為3：2，
所以采用分層抽樣的方法抽取的5人中有優秀3人，良好2人，
記從這5人中選2人至少有1人是優秀為事件A，
∴P(A)=1-P(

.

A

)=1-

C22

C52

=

9

10

．…（6分）
（3）由頻率分布直方圖可知，第四組的人數為8人，第五組的人數為4人，
ξ的所有可能取值為0，1，2，
P(ξ=0)=

C 2 8

C 2 12

=

14

33

，
P(ξ=1)=

C 1 8 C 1 4

C 2 12

=

16

33

，
P(ξ=2)=

C 2 4

C 2 12

=

1

11

…（9分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	14 33	16 33	1 11	…（10分）

∴E(ξ)=0×

14

33

+1×

16

33

+2×

1

11

=

2

3

…（12分）

點評：本題考查頻率的求法和頻率分布直方圖的作法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，解題時要認真審題，注意排列組合的知識的合理運用．