Question

下列五個函數中：①y=2^x；②y=；③y=；④y=；⑤y=cos2x，當0＜x₁＜x₂＜1時，使 恒成立的函數是    將正確的序號都填上）．

Answer 1

【答案】分析：因為 恒成立，表示連接兩點A（x₁，f（x₁）），B （x₂，f（x₂））的線段的中點縱坐標小于f（x）在曲線AB中點（，）的縱坐標，也就是說f（x）的圖象“上凸”．所以只需判斷哪個函數的圖象“上凸”即可．
解答：解：要使當0＜x₁＜x₂＜1時，使 恒成立，
可得對任意兩點A（x₁，f（x₁）），B （x₂，f（x₂）），曲線f（x）在A，B兩點橫坐標的中點的縱坐標，大于A、B兩點的縱坐標的一般，也就是說f（x）的圖象“上凸”可以畫出①②③④⑤的圖象進行判斷：
在0＜x₁＜x₂＜1上為上凸的圖象：

可以看見②③的圖象是上凸的，對于⑤可以進行研究：y=cos2x，周期T=π，要求在0＜x₁＜x₂＜1上是上凸的，

如上圖：在（，1）上是下凹的，在（0，）上是上凸的，故⑤錯誤；
綜上：②③是使 恒成立的函數，
故答案為：②③；
點評：此題主要考查指數函數的性質和對數函數的性質，考查的知識點比較全面，利用數形結合的方法會比較簡單，是一道好題；