Question

在下列五個(gè)函數(shù)中，①y=2^x，②y=log₂x，③y=x²，④y=x^-1，⑤y=cos2x．當(dāng)0＜x¹＜x²＜1
時(shí)，使f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立的函數(shù)是

 

（將正確序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析：因?yàn)?f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

；表示連接兩點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B （x₂，f（x₂））的線段的中點(diǎn)縱坐標(biāo)小于f（x）在曲線AB中點(diǎn) (

x1+x2

2

，f(

x1+x2

2

))；的縱坐標(biāo)，也就是說f（x）的圖象“上凸”．所以只需判斷哪個(gè)函數(shù)的圖象“上凸”即可．

解答：解：∵f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

；表示連接兩點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B （x₂，f（x₂））的線段的中點(diǎn)縱坐標(biāo)小于f（x）在曲線AB中點(diǎn) (

x1+x2

2

，f(

x1+x2

2

))；的縱坐標(biāo)，
也就是說f（x）的圖象“上凸”．所以只需判斷哪個(gè)函數(shù)的圖象“上凸”即可．
由圖形可直觀得到：①③④⑤的圖象都不是上凸的，只有②為“上凸”的函數(shù)．
故答案為：②．

點(diǎn)評(píng)：（1）不要忽視條件：x₁＞x₂＞1，它表示函數(shù)f（x）在（1，+∞）上“上凸”；
（2）

1

2

[f(x1)+f(x2)]＜f(

x1+x2

2

)；表示函數(shù)f（x）上凸；
（3）

1

2

[f(x1)+f(x2)]＞f(

x1+x2

2

)；表示函數(shù)f（x）下凸．