Question

拋物線頂點在原點,它的準線過雙曲線的一個焦點,并與雙曲線的實軸垂直,已知拋物線與雙曲線的交點為(,),求拋物線與雙曲線的方程.

Answer 1

拋物線與雙曲線方程分別為y²=4x和4x²-y²=1.

解析:

∵交點在第一象限,拋物線的頂點在原點,其準線垂直于x軸,

∴可設拋物線方程為y²=2Px(P>0).

∵點(,)在拋物線上,

∴()²=2P×.∴P=2.

∴y²=4x.

∵y²=4x的準線為x=-1,且過雙曲線的焦點,

∴-c=-1,c=1.

∴a²+b²=1.①

又∵點(,)在雙曲線上,

∴.②

聯立①②可得,.

∴4x²-y²=1.

故所求拋物線與雙曲線方程分別為y²=4x和4x²-y²=1.