Question

 

（理）如圖，正三棱柱的所有棱長都為，為中點．

   （Ⅰ）求證：平面；

   （Ⅱ）求二面角的大�。�

   （Ⅲ）求點到平面的距離． 

 

 

 

 

（文）設函數

證明：當沒有極值點；當有且只有一個極值點，并求出極值

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （理）解：解法一：（Ⅰ）取中點，連結．

為正三角形，．

正三棱柱中，平面平面，

平面．

連結，在正方形中，分別為

的中點，

，

．

在正方形中，，

平面．

（Ⅱ）設與交于點，在平面中，作于，連結，由（Ⅰ）得平面．

，

為二面角的平面角．

在中，由等面積法可求得，

又，

．

所以二面角的大小為．

（Ⅲ）中，，．

在正三棱柱中，到平面的距離為．

設點到平面的距離為．

由得，

．

點到平面的距離為．

解法二：（Ⅰ）取中點，連結．

為正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，

平面．

取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，

，，．

,=－1+=0,

，．

平面．

（Ⅱ）設平面的法向量為．

，．

，，

令得為平面的一個法向量．

由（Ⅰ）知平面，

為平面的法向量．

，．

二面角的大小為．

（Ⅲ）由（Ⅱ），為平面法向量，

    ．

      點到平面的距離．

（文）證明：因為

   

當上單調遞增；

如果上單調遞增.

所以當沒有極值點.

當，

當、隨x的變化情況如下表：

x
	－	0	+
		極小值

從上表可看出，

函數有且只有一個極小值點，

極小值為，

當、隨x的變化情況如下表：

 

x
	－	0	+
		極小值

從上表可以看出，

函數有且只一個極大值點，極大值為，

綜上所述，當沒有極值點；當時，

有且只有一個極小值點，極大值為

有且只有一個極大值點，極大值為