Question

（07年福建卷理）（本小題滿分12分）如圖，正三棱柱的所有棱長都為，為中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求點到平面的距離．

Answer 1

本小題主要考查直線與平面的位置關系，二面角的大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．

解析：解法一：（Ⅰ）取中點，連結．

為正三角形，．

正三棱柱中，平面平面，

平面．

連結，在正方形中，分別為

的中點，

，

．

在正方形中，，

平面．

（Ⅱ）設與交于點，在平面中，作于，連結，由（Ⅰ）得平面．

，

為二面角的平面角．

在中，由等面積法可求得，

又，

．

所以二面角的大小為．

（Ⅲ）中，，．

在正三棱柱中，到平面的距離為．

設點到平面的距離為．

由得，

．

點到平面的距離為．

解法二：（Ⅰ）取中點，連結．

為正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，

平面．

取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，

，，．

，，

，．

平面．

（Ⅱ）設平面的法向量為．

，．

，，

令得為平面的一個法向量．

由（Ⅰ）知平面，

為平面的法向量．

，．

二面角的大小為．

（Ⅲ）由（Ⅱ），為平面法向量，

       ．

       點到平面的距離．