Question

若x≥1，y≥1，z≥1，xyz=10，且x^lgx•y^lgy•z^lgz≥10，則x+y+z=    ．

Answer 1

【答案】分析：通過表達式x^lgx•y^lgy•z^lgz≥10兩邊取對數的運算，利用平方以及基本不等式，求出lgxlgy+lgylgz+lgzlgx≤0的條件，轉化為所求結果x+y+z的值．
解答：解：lg（x^lgx•y^lgy•z^lgz）≥1⇒lg²x+lg²y+lg²z≥1
而lg²x+lg²y+lg²z=（lgx+lgy+lgz）²-2（lgxlgy+lgylgz+lgzlgx）
=[lg（xyz）]²-2（lgxlgy+lgylgz+lgzlgx）
=1-2（lgxlgy+lgylgz+lgzlgx）≥1
即lgxlgy+lgylgz+lgzlgx≤0，而lgx，lgy，lgz均不小于0
得lgxlgy+lgylgz+lgzlgx=0，
此時lgx=lgy=0，或lgy=lgz=0，或lgz=lgx=0，
得x=y=1，z=10，或y=z=1，x=10，或x=z=1，y=10
x+y+z=12．
故答案為：12．
點評：本題是中檔題，考查指數與對數的基本性質，基本不等式的靈活運用，轉化思想和計算能力，考查學生綜合能力．