Question

如圖所示,過雙曲線x²-=1的右焦點作直線與雙曲線交于A、B兩點,若OA⊥OB(O為坐標原點),求AB所在直線的方程.

Answer 1

直線方程為y=±(x-2).

解析:

設A、B兩點的坐標分別為(x₁,y₁)、(x₂,y₂),雙曲線x²-=1的右焦點為F(2,0),因此,直線AB過點(2,0),當直線AB垂直于x軸時,把x₁=x₂=2代入雙曲線方程,得y₁=3,y₂=-3,此時OA不垂直于OB,不合題意;當AB不垂直于x軸時,設其斜率為k,方程為y=k(x-2),代入雙曲線方程,整理得(3-k²)x²+4k²x-4k²-3=0,∴x₁x₂=,x₁+x₂=.                ①

∴y₁y₂=k(x₁-2)·k(x₂-2)=k²［x₁x₂-2(x₁+x₂)+4］.∵OA⊥OB,∴=-1(顯然x₁≠0,x₂≠0),

即x₁x₂+y₁y₂=0.∴x₁x₂+k²［x₁x₂-2(x₁+x₂)+4］=0,把①式代入得(k²+1)· -2k²· +4k²=0,

解得k²=,k=±,因此,所求直線方程為y=±(x-2).