Question

已知函數f（x）=21nx與g（x）=a²x²+ax+1（a＞0）．
（1）設直線x=l與曲線y=f（x）和y=g（x）分別相交于點P，Q且曲線y=f（x）和y=g（x）在點P，Q處的切線平行，求實數a的值；
（2）f′（x）為f（x）的導函數，若對于任意的x∈（0，+∞），e

1

f′(x)

-mx≥0恒成立，求實數m的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出f′（1），再利用曲線y=f（x）和y=g（x）在點P，Q處的切線平行，可得f′（1）=g′（1），從而可求實數a的值；
（2）先分離參數，再構造函數求最值，即可求得結論．

解答：解：（1）∵f′（x）=

2

x

，∴f′（1）=2，
∵g′（x）=2a²x+a，曲線y=f（x）和y=g（x）在點P，Q處的切線平行，
∴g′（1）=2
∴2a²+a=2
∴a=

-1±2 5

4

∵a＞0，∴a=

-1+2 5

4

；
（2）∵f′（x）=

2

x

，∴e

1

f′(x)

-mx≥0等價于e

x

2

-mx≥0
∵x＞0，∴m≤

e x 2

x

構造函數g（x）=

e x 2

x

，則g′(x)=

e x 2 ( x 2 -1)

x2

當x∈（0，2）時，g′（x）＜0，函數單調減；當x∈（2，+∞）時，g′（x）＞0，函數單調增
∴x=2時，函數g（x）=

e x 2

x

取得最小值

e

2

∴對于任意的x∈（0，+∞），e

1

f′(x)

-mx≥0恒成立時，m≤

e

2

∴實數m的最大值為

e

2

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查恒成立問題，解題的關鍵是分離參數，利用導數確定函數的最值．